1	Complexité : quelques définitions de base 1) Systèmes complexes Définitions Emergence Propriétés 2) Feedback 3) Fractals
2	1) Systèmes complexes : définition Un système complexe est constitué d’agents en interaction : Entre eux Avec l’environnement Avec le résultat de ces interactions Les règles de comportement d’un agent définissent les stimuli et informations qu’il émet en fonction : Des stimuli et informations reçus De son état (vécu, mémoire) Exemples d’agent : Une cellule dans un organisme Un animal dans un écosystème Un habitant dans une ville Un consommateur ou une entreprise dans un système économique
3	1-1) Emergence Emergence : processus de création de phénomènes par les interactions bouclées des agents d’un système complexe : entre eux avec leur environnement avec les phénomènes en cours de création Des agents très simples peuvent créer des phénomènes émergents complexes et surprenants : reproduction (nouveaux agents) évolution, co-évolution auto-organisation organisation gigogne (sous-système dans les systèmes lois de distribution inégalitaires
4	1-1) Émergence (suite)
5	2) Feedback : définition Il y a feedback dans un système complexe si un agent reçoit un stimuli en réaction à un stimuli qu’il a émis vers un autre agent ou son environnement. Les feedbacks peuvent être transmis en cascade sur un circuit bouclé comprenant plusieurs agents et l’environnement Les feedbacks peuvent être : négatifs (régulation, stabilité) positifs (emballement)
6	2-1) Exemple : producteurs et consommateurs
7	2-2) Importance Les feedbacks sont présents partout Importance centrale dans tous les systèmes complexes adaptatifs : biologiques, écologiques, économiques, sociaux… sous la forme de multiples boucles d’interaction Générateurs de l’ensemble des propriétés des systèmes adaptatifs complexes : émergence, adaptation, auto-organisation, coévolution… Concept formalisé vers 1940 par N. Wiener (Cybernétique) Surprenant qu’il ait été formalisé si tard : Beaucoup plus simple que la théorie de la relativité inventée avant Les outils mathématiques existaient déjà au 18^ème siècle
8	2-3) Sensibilité à la réactivité des agents Dynamique des systèmes sensible à la manière de réagir des agents aux feedbacks: Sens des réactions : positif (amplification) négatif (stabilité) Intensité des réactions : forte ou faible Vitesse des réactions : Lente : retard, seuil de sensibilité Rapide : sensibilité aux tendances taux de croissance d’une variable : dérivée inversion de tendance : dérivée seconde
9	3) Fractal : définition Autosimilarité : zooms successifs sur la figure à même motif flocons de neige, nuages, pliures du cerveau, cours du coton, courbe de Koch brindille, branche, grosse branche, branche maîtresse, arbre Les systèmes complexes adaptatifs produisent des objets fractal Leibnitz : autosimilarité 1700 Mandelbrot : géométrie fractal 1975
10	3-1) Courbe de Koch Création par processus itératif : Chaque segment remplacé par une forme de 4 segments Périmètre Soit P(n) le périmètre de l’itération « n » P(n+1) = 4/3 * P(n) Le périmètre tend vers l’infini mais surface finie
11	3-2) Propriétés Courbes fractales Longueur infinie Aire nulle Dimension fractale comprise entre 1 et 2 mesure de la rugosité Surfaces fractales Aire infinie Volume nul Dimension fractal comprise entre 2 et 3 Exemples : Les poumons : surface d’environ 70 m² Le cortex du cerveau : surface de plusieurs m² Loi de distribution en puissance ; beaucoup de petits objets
12	3-3) Dimension fractale Exemple : calcul de la dimension fractale d’une courbe La longueur mesurée croît avec la diminution de l’instrument de mesure « x » taux de réduction de l’instrument de mesure « y » taux d’accroissement correspondant de la longueur Dimension fractale (rugosité) 1+ (logy/logx) Courbe de Kock pour x=3 y=4/3 dimension fractale = 1,26
13	3-4) Loi de distribution en puissance Les objets fractal ont des lois de distribution en puissance : Beaucoup de petites dimensions Peu de grandes dimensions